Lineer olmayan palabolik denklem sistemi ile verilen bir başlangıç - sınır değer probleminin global çözümünün yokluğu

Abstract

Bu çalışmada; ekolojide Volterra-Lotka rekabet modelini temsil eden denklem sisteminin global çözümünün yokluğu problemi, Neumann ve Dirichlet sınır koşullan ile ele alınmıştır. Bu problem incelenirken V.K. Kalantarov ve O. A. Ladyzhenskaya [9] tararından geliştirilen genelleştirilmiş konkavlık yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemde, yerel çözümün varlığı temel alınarak, denklemin ve sınır koşullarının özelliklerini taşıyan ve belli bir norma göre denklemin yerel çözümünü temsil eden pozitif bir yif) fonksiyonunun, Kalantarov-Ladyzhenskaya Lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilir. Sonuçta, ys(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun sonlu bir / anında sonsuz olduğu bulunur. Çalışmanın giriş bölümünde; lineer olmayan parabolik denklem ve denklem sistemlerinin başlangıç-sınır değer problemlerinin global çözümlerinin yokluğu ve çözümlerin patlaması konularında bugüne kadar yapılmış çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir. Birinci bölümde; tezde kullanılan kavramlar ve tezin oluşumunda yararlanılan yöntem tanıtılmıştır. İkinci bölümde; Q c R" de sınırlı ve yeterince düzgün, 8Ü, sınırına sahip bir bölge olmak üzere, ut-Au=fl(t,u,v)+0 v(-Av = f2(t,u,v) + 0 denklem sistemi, mu(x,6) = u0 (x), v(x,0) = v0 (x), başlangıç koşullan, sınır koşullan ile, başlangıç-sınır değer probleminin global çözümünün yokluğunu incelemek için, //pozitif bir sabit olmak üzere iki kez türevlenebilen pozitif y/(t) fonksiyonu, A')=\{H'42+H.*th+» şeklinde ele alınarak, bu fonksiyonun, enerji integrali yardımıyla Kalantarov- Ladyzhenskaya Lemmasmm hipotezlerini sağladığı gösterilmiştir. Sonuçta, ı//(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun, sonlu bir t anında sonsuz olduğu bulunmuştur. Üçüncü bölümde, aynı denklem sistemi ve başlangıç koşullan ele alınarak sınır koşulları, ^-1 =0 ^1 = 0 8nl8Q ' dnlda ile değiştirilerek, problemin global çözümünün yokluğu incelenmiştir. Bu incelemede, T0,y yek pozitif sabitler olmak üzere pozitif y/{t) fonksiyonu, ¥(t) = J (|K, rf + 1 v(.,rf )dr + (TQ - /)(|Hf + |v0||2)+ y(t + kf IVşeklinde ele alınarak, bu fonksiyonun, enerji integrali yardımıyla Kalantarov- Ladyzhenskaya Lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilmiştir. Sonuçta, y/(t) fonksiyonunun yani çözümün normunun sonlu bir t anında sonsuz olduğu bulunmuştur. Sonuç olarak, parabolik tipte denklem sistemi ile verilen bir başlangıç-sınır değer probleminin global çözümünün yokluğu, değişik tipte sınır koşullan ile ele alınarak genelleştirilmiş konkavlık yöntemi ile incelenmiş ve global çözümünün olmaması koşullan elde edilmiş, bu koşullar altında çözümün yokluğu ispatlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Volterra-Lotka rekabet modeli, Dirichlet ve Neumann koşulları, global çözümün yokluğu, genelleştirilmiş konkavlık yöntemi, enerji integrali.