Lineer olmayan hiperbolik denklemlerin global çözümlerinin olmaması hakkında

Abstract

LİNEER OLMAYAN HİPERBOLİK DENKLEMLERİN GLOBAL ÇÖZÜMLERİNİN OLMAMASI HAKKINDA Bu çalışmada; sınır koşullarında veya denklemin kendisinde, dissipatif terim bulunduran hiperbolik denklemle verilmiş bir sınıf başlangıç-sınır değer probleminin global çözümlerinin yokluğu problemi ele alınmıştır. İncelenen problemlerin her birinde global çözümlerin yokluğu; H.A. Levine[24] tarafından önerilen konkavlık metodu veya V.K. Kalantarov ve O. A. Ladyzhenskaya[15] tarafından bu yöntemin geliştirilmiş şekli olan genelleştirilmiş konkavlık metodu kullanılarak, ispatlanmıştır. Bu metodlarda, sınır koşullarının özelliklerini de yansıtan ve belli bir norma göre çözümü temsil eden bir fonksiyonel yazarak, bu fonksiyonelin Levine veya Kalantarov-Ladyzhenskaya lemmasının hipotezlerini sağladığı gösterilir. Bu lemmaların sonucunda sonlu t zamanmda bu fonksiyonellerin ve dolayısıyla çözümün normunun patladığı bulunur. Birinci bölümde; bu konuda günümüze kadar yapılmış olan çalışmalar hakkında kısa bilgi verilmiştir. İkinci bölümde; tezde kullanılan ve teze temel teşkil eden bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ; Gutt~aAu + cu = bf(u) denklemi, uygun başlangıç koşulları ve dinamik sınır koşulu ile birlikte global çözümlerinin yokluğu, Kalantarov-Ladyzhenskaya lemması ile incelenmiştir. Bu denklemin özel bir hali olan utt - Au = f(u)denklemi, başlangıç koşulları ile birlikte sınırın bir parçasında Dirichlet ve diğer parçasında dinamik sınır koşulu olması durumunda, başlangıç-sınır değer probleminin global çözümlerinin yokluğu araştırılmış ve bir sayısal örnek verilmiştir. Dördüncü bölümde; Pun + Q(t)ut + A(t, u) = F(t, u), t e J = [O, oo) evolusyon denkleminde A{u) = -div^Du\p Duj, uygun başlangıç koşulları ve u(x, t) = Q sınır koşulu ve A(u)=2bA2u + bA(\Vu\2Au)-bYddl((Au)2diu) ;=1 du ve uygun başlangıç koşulları ile birlikte u(x,t) = 0, - = 0 sınır koşulları alınarak, dn sonlu bir [0,7") aralığında global çözümlerinin yokluğu Levine lemması kullanılarak araştırılmıştır. İkinci probleme bir sayısal örnek verilmiştir. Beşinci bölümde; a herhangi bir sabit olmak üzere, dissipatif terim içeren kuazi lineer ^Jı^ \p-2 \ i 1/7-2 i,/-2 w#-V||Vw| vu)+aut=\u\ u + \u\ u dalga denklemi ile birlikte, uygun başlangıç koşulları ve u(x, 0 = 0 sınır koşulu alınarak, başlangıç- sınır değer problemi incelenmiştir. v(t) = e~""u(t) dönüşümü ile denklem, katsayılardaki operatörlerin zamana bağlı olduğu vtt + (2m + a)vt + (m2 + am)v - e(p-2)mtV(\Vv\p~2 Vv) = e~""\e (e^mt\vf2v + eil-1)mt\v\l'2v) denklemine dönüştürülmüştür, v için uygun başlangıç koşulları ve v(x,/) = 0 sınır koşulu ile oluşturulan bu smır-değer probleminin global çözümlerinin yokluğu Kalantarov-Ladyzhenskaya lemması kullanılarak araştırılmıştır. VIBütün problemlerde ispatlar enerji integrali kullanılarak yapılmıştır. Önceki problemlerde başlangıç enerjisi negatiftir. Bu problemde ise başlangıç enerjisinin pozitif olması önemlidir. Son olarak; elde edilen sonuçlar tartışılmış ve bu konuda daha sonra yapılması düşünülen çalışmalar hakkında önerilerde bulunulmuştur. Anahtar Kelimeler: Global çözümlerin yokluğu, konkavlık metodu, genelleşmiş konkavlık metodu, çözümün patlaması. VII