Grupların ve grup etkilerinin Tarski sayıları

Abstract

G grubu X kümesi üzerine etki etsin ve A_1,…,A_n, B_1,…,B_m kümeleri X'in boş olmayan, ayrık altkümeleri olsun. S_1={a_1,…a_n } ve S_2={b_1,…b_m } kümeleri G'nin altkümeleri olmak üzere, X=⋃_(i=1)^n▒〖a_i A_i 〗=⋃_(j=1)^m▒〖b_j B_j 〗 eşitliği sağlanıyor ise G↷X grup etkisi G-paradoksaldır denir. Bu tanım G'nin kendi üzerine sağdan veya soldan çarpma etkisi için sağlandığında G grubu paradoksaldır denir. Bu tezde paradoksal grupların ve grup etkilerinin özellikleri incelenecektir. Bu özelliklerden biri F_2 serbest grubunu içeren bütün grupların paradoksal olduğudur. Dolayısıyla bu kısmın daha iyi anlaşılması açısından tezin ikinci bölünde serbest grupların tanımı ve özellikleri anlatılacaktır. Paradoksal grupların bir diğer özelliği de, 1938'de Alfred Tarski tarafından kanıtlanan, paradoksal olmayan grupların amenable gruplara eşdeğer olmasıdır. Bu kapsamda tezin 3. bölümünde amenable grupların tanım ve özellikleri verilecektir. Paradoksal parçalanıştaki mümkün olan en küçük m+n sayısına grubun ya da grup etkisinin Tarski sayısı denir. Bu tez esas olarak paradoksal gruplar ve grup etkileri için sorulan iki sorunun cevabı üzerine oturmaktadır. Bu iki soru da Tarski sayısı ile ilgilidir. Bu bağlamda paradoksal grupların Tarski saysının sınırlı olup olmadığı sorusu tezin 4. bölümünde Ershov, Golan ve Sapir'in makalesi üzerinden yanıtlanacaktır. Bu bölümde grupların Tarski sayılarının sınırsızlığı kanıtlanacaktır. Yani daha açık olarak her k∈N için Tarski sayısı en az 2k+4 olan bir G grubunun varlığı kanıtlanacaktır. İkinci soru ise verilen herhangi k≥4 doğal sayısı için Tarski sayısı k olan bir grup etkisinin var olup olmadığı sorusudur. Bu sorunun cevabı tezin 5. bölümünde Golan'ın makalesi üzerinden verilecektir. Böyle bir etkinin varlığının kanıtı için öncelikle bir grubun Schreier grafı ve onun belirli koşulları sağlayan alt grafının tanım ve özellikleri anlatılacaktır. Son olarak bu graflar kullanılarak Tarski sayısı k olan bir grup etkisi inşası anlatılacaktır.